Coseno

  COSENO

En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo ${\displaystyle 2\pi }$, y además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

${\displaystyle \cos \;x=\cos(-x)}$

${\displaystyle \cos \;x=-\cos(x+\pi )}$

En trigonometría, el coseno de un ángulo ${\displaystyle \alpha }$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el catetoadyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {AC}{AB}}}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Si ${\displaystyle B}$ pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con ${\displaystyle O=A}$ se tiene:

${\displaystyle \cos \alpha =b=AC}$

Ya que ${\displaystyle c=AB=1}$.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ mediante su descomposición en los vectores ortogormales ${\displaystyle {\vec {AC}}}$ y ${\displaystyle {\vec {CB}}}$.

Representación gráfica del coseno 

Valores del Coseno:

• 0º → cos 0 = 1
• 30º → cos 30 = √3 / 2
• 45º → cos 45 = √2 / 2
• 60º → cos 60 = 1/2
• 90º → cos 90 = 0
• 180º → cos 180 = -1
• 270º → cos 270 = 0

Propiedades del Coseno:

• Relación del coseno con el seno:

sen² α + cos² α +  = 1

cos α = sen (α + π/2)

• Coseno de la suma de ángulos:

cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

• Coseno de la resta de ángulos:

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

• Coseno de la ángulos suplementarios:

cos (π - α) = - cos α

Coseno del ángulo opuesto:

cos (2π - α) = cos α

• Coseno del ángulo negativo:

cos (- α) = cos α

Características fundamentales de la función coseno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

   cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)  donde

     a= - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

  Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma(a, b) donde          

     a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π,1)  con   k∈Z .

 Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .
cos (x) = cos (x + 2π)

La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.