NORMAS DE UN VECTOR

NORMAS DE UN VECTOR 
Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que surge, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

• En dos dimensiones:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2})}$ y O el origen de coordenadas de dicho espacio.

• Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {{(b_{1}-a_{1})^{2}}+{(b_{2}-a_{2})^{2}}+{(b_{3}-a_{3})^{2}}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

• En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:

${\displaystyle \|{\vec {AB}}\|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+...+(b_{n}-a_{n})^{2}}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {OA}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ y ${\displaystyle {\vec {OB}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$.

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en la que un vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ viene dado por sus componentes en esta base, ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathcal {B}}=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$, entonces la norma de dicho vector viene dada por:

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}}}$

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

• Para un vector ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ se define la norma-p como:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+...+|x_{n}|^{p}}}}$

Así, para el caso ${\displaystyle p=1}$ se obtiene ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|}$, y para el caso ${\displaystyle p=2}$ se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

• Otro operador norma sería, la norma infinito:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{n}|)=\max _{i\in \{1,\dots ,n\}}|x_{i}|}$

Donde ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Para un espacio de dimensión infinita numerable se podría escribir:

${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|}$

La elección del subíndice ${\displaystyle \infty }$ para esta norma se debe al hecho de que:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\,\,\|{\vec {x}}\|_{p}=\|{\vec {x}}\|_{\infty }}$

• En un espacio vectorial dotado de producto escalar o Espacio prehilbertiano existe una norma asociada al producto escalar definida como (La coma indica producto interno):

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x^{*}\rangle }}}$ donde x* es el complejo conjugado de x

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

Proposición

En ${\displaystyle R^{n}}$ todas las normas son equivalentes (desde el punto de vista de la convergencia), esto es, que para dos normas cualesquiera ${\displaystyle \|.\|_{1}}$ y ${\displaystyle \|.\|_{2}}$ existen dos constantes ${\displaystyle \gamma }$ y ${\displaystyle \lambda }$ tales que

 y  para todo  ²​