Tangente

     TANGENTE

En matemáticas, la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo ${\displaystyle \pi }$ con indeterminaciones en ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+n\pi ,\;n\in \mathbb {Z} }$, y además una función trascendente de variable real. El día de la tangente es el 3 de Mayo. Su nombre se abrevia tan¹​.

${\displaystyle \tan \;x=-\tan(-x)}$

${\displaystyle \tan \;x=\tan(\pi +x)}$

En trigonometría, la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {BC}{OC}}}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.

Representación gráfica

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

• Dados los ángulos ${\displaystyle \phi ,\theta \ }$:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} (\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}}$

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }}}$

• Dividiendo al numerador y al denominador por ${\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,}$:

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}$

• Separando la suma y la resta:

Tangente de la diferencia de dos ángulos

• ${\displaystyle \tan \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\tan \phi +\tan(-\theta )}{1-\tan \phi \tan(-\theta )}}}$

• Al ser una función impar, se obtiene:

${\displaystyle \tan \left(\phi -\theta \right)={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}}$

Fórmula resumida

${\displaystyle \tan \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\tan \phi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \phi \tan \theta }}}$

Tangente del ángulo doble

Partiendo de

${\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\frac {\tan \phi +\tan \psi }{1-\tan \phi \tan \theta }}}$

y haciendo ${\displaystyle \phi =\theta \,}$ entonces:

${\displaystyle \tan \left(2\phi \right)={\frac {2\tan \phi }{1-\tan ^{2}\phi }}}$

Tangente del ángulo triple

Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ

${\displaystyle \tan \left(3\psi \right)={\frac {3\tan \psi -\tan ^{3}\psi }{1-3\tan ^{2}\psi }}}$

Tangente del ángulo mitad

Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}}$ ​

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.