MEDIANA

   MEDIANA
En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'¹​) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

Cálculo

Cálculo de la mediana:

1- Ordenamos los datos de menor a mayor.

2- Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Mediana = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9,5

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como ${\displaystyle M_{e}}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición ${\displaystyle (n+1)/2}$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$ => El valor central es el tercero: ${\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$) y otros dos por encima de él (${\displaystyle x_{4}}$, ${\displaystyle x_{5}}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando ${\displaystyle n}$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones ${\displaystyle n/2}$ y ${\displaystyle (n/2)+1}$. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, ${\displaystyle x_{6}=10}$. Aquí dos valores que están por debajo del ${\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato ${\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: ${\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

${\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})}$

Donde ${\displaystyle N_{i}}$ y ${\displaystyle N_{i-1}}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que ${\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}}$, ${\displaystyle a_{i-1}}$ y ${\displaystyle a_{i}}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y ${\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: cantidad (N) impar de datos

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19,5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene ${\displaystyle X(39+1)/2=X20}$.

• Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19,5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19,5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Ni+w
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene la siguiente fórmula: ${\displaystyle X=n/2==>X=(38/2)=>X=19}$ (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

• Ni-1< n/2 < Ni = N18,5 < 19 < N19,5

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Método de cálculo general

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)-N(i-2)=${\displaystyle N_{i-1}}$
[xi1-xi2]	${\displaystyle f_{i}}$	fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+1)2]	f(i+1)	f(i+1)-Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.
[xM1-xM2]	fM	fM-N(M-1)=NM

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo< Entonces:

${\displaystyle Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})}$

donde:

${\displaystyle x_{i1}}$ = es el límite inferior de la clase de la mediana.

${\displaystyle ({\cfrac {N_{M}}{2}})}$ = es la posición de la mediana.

${\displaystyle N_{i-1}}$ = es la frecuencia acumulada de la clase premediana.

${\displaystyle f_{i}}$ = es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

${\displaystyle (x_{i2}-x_{i1})}$ = ${\displaystyle A_{i}}$ = Amplitud del intervalo de la clase de la median