PROBABILIDAD CONDICIONADA

 PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B) o P(A/B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no, dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ y dos eventos (o sucesos) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ con ${\displaystyle P(B)>0}$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.}$

${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

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Interpretación

Tomando los casos en los que B se cumple, ${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como la parte en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, ${\displaystyle P(A\mid B)}$ sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Propiedades

1. ${\displaystyle P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1}$
2. ${\displaystyle B\subseteq A\to P(A\mid B)=1}$

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

1. ${\displaystyle P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})}$

Independencia de sucesos

Artículo principal: Independencia (probabilidad)

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

${\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).}$

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ${\displaystyle P(A\cap B)}$ ó ${\displaystyle P(A,B),}$ puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$

${\displaystyle P(B|A)\ =\ P(B).}$

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no tienen intersección. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$. Entonces, ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$.

Además, si ${\displaystyle P(B)>0}$ entonces ${\displaystyle P(A\mid B)}$ es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

${\displaystyle P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}}$ (Teorema de Bayes)

Problemas de ejemplo

La paradoja del falso positivo

La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

${\displaystyle P(enfermo)=1\%=0.01}$ y ${\displaystyle P(sano)=99\%=0.99}$

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

${\displaystyle P(positivo|sano)=1\%}$ y ${\displaystyle P(negativo|sano)=99\%}$

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

${\displaystyle P(negativo|enfermo)=1\%}$ y ${\displaystyle P(positivo|enfermo)=99\%}$

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

${\displaystyle P(sano\cap negativo)=P(sano)\times P(negativo|sano)=99\%\times 99\%=98.01\%}$

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

${\displaystyle P(enfermo\cap positivo)=P(enfermo)\times P(positivo|enfermo)=1\%\times 99\%=0.99\%}$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

${\displaystyle P(sano\cap positivo)=P(sano)\times P(positivo|sano)=99\%\times 1\%=0.99\%}$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

${\displaystyle P(enfermo\cap negativo)=P(enfermo)\times P(negativo|enfermo)=1\%\times 1\%=0.01\%}$

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

${\displaystyle P(positivo)=P(sano\cap positivo)+P(enfermo\cap positivo)=0.99\%+0.99\%=1.98\%}$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

${\displaystyle P(enfermo|positivo)={\frac {P(enfermo\cap positivo)}{P(positivo)}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%}$

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

Ejemplo

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: ${\displaystyle P(enfermo)=0,001}$

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: ${\displaystyle P(positivo|enfermo)=0,99}$

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: ${\displaystyle P(positivo|sano)=0,05}$

${\displaystyle P(enfermo|positivo)={\frac {P(enfermo)\times P(positivo|enfermo)}{P(positivo)}}}$ ${\displaystyle P(enfermo|positivo)=P(enfermo)\times {\frac {P(positivo|enfermo)}{P(enfermo)\times P(positivo|enfermo)+P(sano)\times P(positivo|sano)}}}$ ${\displaystyle P(enfermo|positivo)={\frac {0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}}=0,019=1,9\%}$