POTECIACION

     POTECIACION

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee normalmente como «a elevado a la n». Hay algunos números exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que se lee al cubo. Se debe tener en cuenta que en el caso de la potenciación, la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene por qué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{1}=&a\\a^{2}=&a\times a\\\vdots &\vdots \\a^{n}=&\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ veces}}},\end{array}}}$

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, que pueden ser, por ejemplo, matriz cuadrada o matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

mostrar${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$

Ejemplos:

${\displaystyle 9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

${\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}}$

Debido a esto, la notación ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ se reserva para significar ${\displaystyle a^{(b^{c})}}$ ya que ${\displaystyle {(a^{b})}^{c}}$ se puede escribir sencillamente como ${\displaystyle a^{bc}\,}$.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}$

---

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

${\displaystyle (-a)^{n}=\;\;\;\;\;a^{n}}$ si n es par. ${\displaystyle (-a)^{n}=-(a^{n})}$ si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que ${\displaystyle c={\frac {1}{a}}}$, entonces este se denota por ${\displaystyle a^{-1},}$ y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{-1}={\frac {1}{a}}\\a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}\end{array}}}$

Observación

${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{a}}} _{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.}$

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor,¹​ esto es:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{5-3}=9^{2}}$

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:​

${\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}\,}$

El caso particular de ${\displaystyle 0^{0}\,}$ no está definido y es conocido como una indeterminación.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

---

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo ${\displaystyle a^{-1}}$, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

${\displaystyle 0^{1}=0}$

Exponente racional

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo ${\displaystyle x^{n}=a}$, de manera que ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$, pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}$

Observación

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a.}$

En general para las fracciones se define que: 

${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{\frac {n}{m}}&={\sqrt[{m}]{a^{n}}}\\a^{-{\frac {n}{m}}}&={\frac {1}{a^{\frac {n}{m}}}}\end{array}}}$

Relación

Propiedades

${\displaystyle \left(a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\right)^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{\frac {n}{m}}=a^{\frac {n}{m}}\cdot b^{\frac {n}{m}}.}$

Exponente real

Exponenciación y Logaritmo.

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales ${\displaystyle q_{n}}$ que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión ${\displaystyle a^{q_{n}}}$ que se escribe como: ${\displaystyle a^{b}=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}$

Nótese que las sucesivas aproximaciones de a^b tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la función exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Así, se define

${\displaystyle f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}}$.

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R₊, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Propiedades

${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c},}$

${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}.}$

Exponente complejo

Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así ${\displaystyle a^{b}={\mbox{det-exp}}(b\cdot {\mbox{det-log }}a)}$ donde det-exp es la determinación de la exponencial y det-log la determinación del logaritmo.

Resultados de potenciación

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

${\displaystyle (a+b)^{m}\ \neq \ a^{m}+b^{m}}$

${\displaystyle (a-b)^{m}\ \neq \ a^{m}-b^{m}}$

No cumple la propiedad conmutativa:

${\displaystyle a^{b}\ \neq \ b^{a}}$

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{bc}}$

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}10^{-6}&=&0,000001\\10^{-5}&=&0,00001\\10^{-4}&=&0,0001\\10^{-3}&=&0,001\\10^{-2}&=&0,01\\10^{-1}&=&0,1\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}10^{0}&=&1\\10^{1}&=&10\\10^{2}&=&100\\10^{3}&=&1.000\\10^{4}&=&10.000\\10^{5}&=&100.000\\10^{6}&=&1.000.000\end{array}}}$