PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR POR SI MISMO

PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR POR SI MISMO

En matemáticas, el producto escalar ¹​ ²​ ³​ ⁴​, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de número. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación " · ". El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el hecho del que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones)

Un producto escalar se puede expresar como:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\langle \cdot ,\cdot \rangle :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=\langle x,y\rangle \end{array}}}$

donde ${\displaystyle V\;}$ es un espacio vectorial y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el cuerpo sobre el que está definido ${\displaystyle V\;}$. La función ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ (que toma como argumentos dos elementos de ${\displaystyle V\;}$, y devuelve un elemento del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: ${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle }$, y linealidad conjugada por la derecha: ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$
2. Hermiticidad: ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$,
3. Definida positiva: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\,}$, y ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\,}$ si y sólo si x = 0,

donde ${\displaystyle x,y,z\in V}$ son vectores de V, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ representan escalares del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle {\overline {c}}}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ${\displaystyle \mathbb {R} }$), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\bullet :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=x\bullet y\end{array}}}$

Un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo ${\displaystyle \theta }$ que forman.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }$

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy A_B, será

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)}$

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

${\displaystyle \cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over {\big \|}\mathbf {A} {\big \|}\,{\big \|}\mathbf {B} {\big \|}}\,}$

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B} }$

ya que el ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$.

Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|}$

Propiedades del producto escalar

Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:

1. Conmutativa:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} }$

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

${\displaystyle m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )}$